Question

已知函数f（x）=|x-3|．（1）若不等式f（x-1）+f（x）＜a的解集为空集，求a的范围；（2）若|a|＜1，|b|＜

已知函数f（x）=|x-3|．（1）若不等式f（x-1）+f（x）＜a的解集为空集，求a的范围；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（ba）．

Answer 1

（1）由题意可得f（x-1）+f（x）=|x-4|+|3-x|≥|（x-4）+（3-x）|=1，
不等式f（x-1）+f（x）＜a的解集为空集，∴a≤1．
（2）∵|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，
要证f（ab）＞|a|f（

b

a

），即证|ab-3|＞|b-3a|，
只需证 a²?b²-6ab+9＞9a²+b²-6ab，
只需证（a²-1）（b²-9）＞0．
而由条件可得，a²-1＜0 b²-9＜0，
故（a²-1）（b²-9）＞0 显然成立．
从而原不等式成立．