Question

已知函数f（x）=lnxa．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线为x-y-1=0，求a的值；（Ⅱ）设g（x）

已知函数f（x）=lnxa．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线为x-y-1=0，求a的值；（Ⅱ）设g（x）=x?aax，a＞0，证明：当x＞a，f（x）的图象始终在g（x）图象的下方；（Ⅲ）当a=1时，h（x）=f（x）-e[1+x?g（x）]，（e为自然对数的底数），h′（x）表示h（x）导函数，求证：对于曲线C上的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜x2，存在唯一的x0∈（x1，x2），使直线AB的斜率等于h′（x0）．

Answer 1

解答：（Ⅰ）解：∵f（x）=ln

x

a

，∴f′（x）=

1

x

，
∴f′（1）=1，
∵f（1）=ln

1

a

，
∵曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x-y-1=0，
∴1-ln

1

a

-1=0，∴a=1；
（Ⅱ）证明：令φ（x）=f（x）-g（x）=lnx-lna-

x?a

ax

（x＞a＞0），
则φ′（x）=-

( x ? a )2

2x ax

＜0，
∴φ（x）在（a，+∞）上单调递减，且φ（a）=0，
∴x＞a时，φ（x）＜φ（a）=0，即f（x）＜g（x），
∴当x＞a时，f（x）的图象始终在g（x）的图象的下方；
（Ⅲ）证明：由题意，h（x）=lnx-ex，
若存在唯一的x₀∈（x₁，x₂），使直线AB的斜率等于h′（x₀），
则

1

x0

-e=

lnx2?lnx1?e(x2?x1)

x2?x1

，
∴x₀ln

x2

x1

-（x₂-x₁）=0，
设F（x）=xln

x2

x1

-（x₂-x₁），则F（x）是关于x的一次函数，
∴只需证明F（x）在（x₁，x₂）上单调，且满足F（x₁）F（x₂）＜0．
F（x₁）=x₁ln

x2

x1

-（x₂-x₁），F（x₂）=x₂ln

x2

x1

-（x₂-x₁），
将x₁，x₂看作自变量，得到两个新函数足F（x₁）、F（x₂），讨论它们的最值．
F（x₁）=x₁ln

x2

x1

-（x₂-x₁），F′（x₁）=ln

x2

x1

＞0，函数是增函数，
∵x₁＜x₂，∴F（x₁）＜F（x₂）=0．
同理F（x₂）=x₂ln

x2

x1

-（x₂-x₁），函数是增函数，∴F（x₁）＞F（x₂）=0．
∴F（x₁）F（x₂）＜0∴F（x）=xln

x2

x1

-（x₂-x₁）在（x₁，x₂）上有零点x₀，
∵

x2

x1

＞1，∴ln

x2

x1

＞0，
∴F（x）=xln

x2

x1

-（x₂-x₁），）在（x₁，x₂）上是增函数，
∴F（x）=xln

x2

x1

-（x₂-x₁）在（x₁，x₂）上有唯一零点x₀，
∴对于曲线C上的不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁＜x₂，
存在唯一的x₀∈（x₁，x₂），使直线AB的斜率等于h′（x₀）．