如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1.(Ⅰ) 求证:AB1⊥平面A1BC1;(Ⅱ) 若D为B1C1

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1.(Ⅰ)求证:AB1⊥平面A1BC1;(Ⅱ)若D为B1C1的中点,求AD与平面A1BC1所成的... 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1.(Ⅰ) 求证:AB1⊥平面A1BC1;(Ⅱ) 若D为B1C1的中点,求AD与平面A1BC1所成的角. 展开
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金爱云花6222
2014-09-20 · TA获得超过164个赞
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(Ⅰ)由题意知四边形AA1B1B是正方形,
∴AB1⊥BA1
∵AA1⊥平面A1B1C1,∴AA1⊥A1C1
又∵A1C1⊥A1B1,∴A1C1⊥平面AA1B1B,
∴A1C1⊥AB1
∴AB1⊥平面A1BC1.…(7分)
(Ⅱ) 设AB1与A1B相交于点O,则点O是线段AB1的中点.
连接AC1,由题意知△AB1C1是正三角形.
由AD,C1O是△AB1C1的中线知:AD与C1O的交点为重心G,连接OG.
由(Ⅰ) 知AB1⊥平面A1BC1
∴OG是AD在平面A1BC1上的射影,
∴∠AGO是AD与平面A1BC1所成的角.
在直角△AOG中,
AG=
2
3
AD=
3
3
AB1=
6
3
AB,AO=
2
2
AB,
∴sin∠AGO=
AO
AG
=
3
2

∴∠AGO=60°,
即AD与平面A1BC1所成的角为60°.…(15分)
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