如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1.(Ⅰ) 求证:AB1⊥平面A1BC1;(Ⅱ) 若D为B1C1
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1.(Ⅰ)求证:AB1⊥平面A1BC1;(Ⅱ)若D为B1C1的中点,求AD与平面A1BC1所成的...
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1.(Ⅰ) 求证:AB1⊥平面A1BC1;(Ⅱ) 若D为B1C1的中点,求AD与平面A1BC1所成的角.
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(Ⅰ)由题意知四边形AA1B1B是正方形,
∴AB1⊥BA1.
∵AA1⊥平面A1B1C1,∴AA1⊥A1C1.
又∵A1C1⊥A1B1,∴A1C1⊥平面AA1B1B,
∴A1C1⊥AB1.
∴AB1⊥平面A1BC1.…(7分)
(Ⅱ) 设AB1与A1B相交于点O,则点O是线段AB1的中点.
连接AC1,由题意知△AB1C1是正三角形.
由AD,C1O是△AB1C1的中线知:AD与C1O的交点为重心G,连接OG.
由(Ⅰ) 知AB1⊥平面A1BC1,
∴OG是AD在平面A1BC1上的射影,
∴∠AGO是AD与平面A1BC1所成的角.
在直角△AOG中,
AG=
AD=
AB1=
AB,AO=
AB,
∴sin∠AGO=
=
.
∴∠AGO=60°,
即AD与平面A1BC1所成的角为60°.…(15分)
∴AB1⊥BA1.
∵AA1⊥平面A1B1C1,∴AA1⊥A1C1.
又∵A1C1⊥A1B1,∴A1C1⊥平面AA1B1B,
∴A1C1⊥AB1.
∴AB1⊥平面A1BC1.…(7分)
(Ⅱ) 设AB1与A1B相交于点O,则点O是线段AB1的中点.
连接AC1,由题意知△AB1C1是正三角形.
由AD,C1O是△AB1C1的中线知:AD与C1O的交点为重心G,连接OG.
由(Ⅰ) 知AB1⊥平面A1BC1,
∴OG是AD在平面A1BC1上的射影,
∴∠AGO是AD与平面A1BC1所成的角.
在直角△AOG中,
AG=
2 |
3 |
| ||
3 |
| ||
3 |
| ||
2 |
∴sin∠AGO=
AO |
AG |
| ||
2 |
∴∠AGO=60°,
即AD与平面A1BC1所成的角为60°.…(15分)
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