Question

如图,点O是正△ABC内一点,∠AOB=90°,∠BOC=α,

如图,点O是正△ABC内一点,∠AOB=90°,∠BOC=α,将△BOC绕点C顺时针旋转60°得到△AEC,连结OE. (1)求证:△COE是等边三角形; (2)当α为何值时,AC⊥OE,并说明理由;
急啊！

Answer 1

(1)证明:∵CE=CO,∠ECO=60°.(已知)
∴⊿COE为等边三角形.
(2)当a=135°时，AC垂直OE.
证明:∵∠AOB=90°,∠BOC(即a)=135°.
∴∠AOC=360°-∠AOB-∠BOC=135°.
∵∠AEC=∠BOC=135°.
∴∠AEC=∠AOC=135°.
又⊿COE为等边三角形，∠CEO=∠COE=60°.
∴∠AEO=∠AOE=75°,AE=AO.
∵AE=AO,CE=CO,AC=AC.
∴⊿AEC≌⊿AOC(SSS),∠ACE=∠ACO.
∵AC平分∠OCE，CE=CO.
∴AC⊥OE.(等腰三角形三线合一）

追问

还有一题，忘打进去了（3）探究是否存在a的值使得点O到正三角形ABC三个顶点的距离之比为1：根号3:2，若存在请直接写出a的值

追答

Answer 2

解：（1）根据旋转的性质可知：△BOC≌△AEC，
则OC＝EC，
由于旋转角是60°，即∠OCE＝60°
∴△COE是等边三角形（有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形）
（2）当α＝120°时,AC⊥OE,
理由是：
要使AC⊥OE，设AC与OE的交点为F，则∠OFC＝90°，
即：∠FOC+∠OCF＝90°
由（1）知△COE是等边三角形，即∠COE＝60°
∴∠OCF＝90°-∠FOC＝90°-60°＝30°
∴∠α＝∠BOC＝∠FOC+∠OCF＝90°+300°＝120°

（3）当α＝120°时，点O到正三角形ABC三个顶点的距离之比为1：根号3:2。

Answer 3

（1）证明：∵△AEC是由△BOC旋转而得
∴△AEC与△BOC全等
∴CA=CE,∠BCO=∠ACE
又∵∠ACB=∠BCO+∠ACO=60°
∴∠OCE=∠ACE+∠ACO=60°
∴△COE是等边三角形
（2)解：设AC⊥OE，AC交OE与点F
∴∠OFC＝90°
∵△COE是等边三角形
∴CF平分∠OCE
∴∠OCF＝1/2∠OCE=30°
∵在Rt△OFC中
∴∠COF=60°
∴∠BOC=180°-60°=120°
∴α=120°

追问

还有一题，忘打进去了（3）探究是否存在a的值使得点O到正三角形ABC三个顶点的距离之比为1：根号3:2，若存在请直接写出a的值

Answer 4

（1）因为三角形AEC是三角形BOC绕点C旋转60度得到的，所以BC=CE，角ECO=60度，所以三角形COE是等腰三角形，又角ECO=60度，有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形，所以三角形COE是等边三角形
（2）假设AC垂直OE，所以在等边三角形COE中，AC平分角OCE，即角OCA=角ECA=30度，又等边三角形COE中OC=EC，三角形OCA全等于三等形ECA（边角边），所以OA=EA，由旋转又可以得到OB=EA，所以OA=OB，由题知，三角形AOB中，角AOB=90度，所以三角形AOB为等腰直角三角形，角ABO=45度，在正三角形ABC中，角ABC=角ACB=60度，所以角OBC=角ABC-角ABO=60度-45度=15度，角OCB=角ACB-角OCA=30度，在三角形BOC中，角BOC=180度-角OBC-角OCB=135度