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解：∵lm(x->0+){[1+(tanx-x)/x]^[x/(tanx-x)]}=e (令z=(tanx-x)/x，应用重要极限lm(z->0)[(1+z)^(1/z)]=e)
lim(x->0+)[(tanx-x)/x³]=lim(x->0+)[(sec²x-1)/(3x²)] (0/0型极限，应用罗比达法则)
=lim(x->0+)[tan²x/(3x²)]
=(1/3)lim(x->0+)[(tanx/x)²]
=(1/3)*1 (∵lim(x->0+)(tanx/x)=1)
=1/3
∴原式=lim(x->0+){[1+(tanx-x)/x]^【[x/(tanx-x)]*[(tanx-x)/x³]】}
=【lim(x->0+){[1+(tanx-x)/x]^[x/(tanx-x)]}】^{lim(x->0+)[(tanx-x)/x³]}
=e^(1/3)。
lim(x->0+)[(tanx-x)/x³]=lim(x->0+)[(sec²x-1)/(3x²)] (0/0型极限，应用罗比达法则)
=lim(x->0+)[tan²x/(3x²)]
=(1/3)lim(x->0+)[(tanx/x)²]
=(1/3)*1 (∵lim(x->0+)(tanx/x)=1)
=1/3
∴原式=lim(x->0+){[1+(tanx-x)/x]^【[x/(tanx-x)]*[(tanx-x)/x³]】}
=【lim(x->0+){[1+(tanx-x)/x]^[x/(tanx-x)]}】^{lim(x->0+)[(tanx-x)/x³]}
=e^(1/3)。
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