Question

如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点M、N分别是边AC和BC的中点，点D在射线BM上，且BD=2BM．点

如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点M、N分别是边AC和BC的中点，点D在射线BM上，且BD=2BM．点E在射线NA上，且NE=2NA，求证：BD⊥DE．

Answer 1

证明：取AD中点F，连接EF，
∵△ABC是等腰直角三角形，点M、N分别是边AC和BC的中点，
∴BC=AC，AC=2CM，BC=2CN，
∴CM=CN，
在△BCM和△ACN中，

BC＝AC ∠C＝∠C CM＝CN

，
∴△BCM≌△ACN（SAS），
∴AN=BM，∠CBM=∠CAN，
∵NE=2AN，
∴AE=AN，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠C=90°，∠ADM=∠CBM=∠NAC，
在△EAF和△ANC中，

AE＝AN ∠EAF＝∠ANC AF＝NC

，
∴△EAF≌△ANC（SAS），
∴∠NAC=∠AEF，∠C=∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠DFE=90°，
∵F为AD中点，
∴AF=DF，
在△AFE和△DFE中，

AF＝DF ∠AFE＝∠DFE EF＝EF

，
∴△AFE≌△DFE（SAS），
∴∠EAD=∠EDA=∠ANC，
∴∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EAD+∠NAC=180°-∠DAM=180°-90°=90°，
∴BD⊥DE．