Question

已知函数f（x）=|x-1|．（1）解不等式：1≤f（x）+f（x-1）≤2；（2）若a＞0，求证：f（ax）-af（x）≤f

已知函数f（x）=|x-1|．（1）解不等式：1≤f（x）+f（x-1）≤2；（2）若a＞0，求证：f（ax）-af（x）≤f（a）．

Answer 1

（1）由题f（x）+f（x-1）=|x-1|+|x-2|≥|x-1+2-x|=1．
因此只须解不等式f（x）+f（x-1）≤2．…（2分）
当x≤1时，原不式等价于-2x+3≤2，即

1

2

≤x≤1．
当1＜x≤2时，原不式等价于1≤2，即1＜x≤2．
当x＞2时，原不式等价于2x-3≤2，即2＜x≤

5

2

．
综上，原不等式的解集为{x|

1

2

≤x≤

5

2

}．…（5分）
（2）由题f（ax）-af（x）=|ax-1|-a|x-1|．
当a＞0时，f（ax）-af（x）
=|ax-1|-|ax-a|
=|ax-1|-|a-ax|
≤|ax-1+a-ax|
=|a-1|
=f（a）．…（10分）