Question

若函数f(x)＝ax?1ax+1（a＞0且a≠1）．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）当a＞1时，判断f（x）在（-∞，+∞

若函数f(x)＝ax?1ax+1（a＞0且a≠1）．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）当a＞1时，判断f（x）在（-∞，+∞）上的单调性，并加以证明．

Answer 1

（1）解：由f（x）的定义域为（-∞，+∞），关于数0对称（2分）f(?x)＝

a?x?1

a?x+1

＝

1?ax

1+ax

＝?f(x)，得∴f（x）为R上的奇函数．（6分）
（2）当a＞1时，f（x）在（-∞，+∞）上的单调递增．（8分）（本次未扣分，以后考试一定会扣分）
证明：设x₁，x₂为（-∞，+∞）上任意两个实数，且x₁＜x₂，
则由a＞1得ax1＜ax2
f(x1)?f(x2)＝

ax1?1

ax1+1

?

ax2?1

ax2+1

＝

2(ax1?ax2)

(ax1+1)(ax2+1)

＜0
∴当a＞1时，f（x）在（-∞，+∞）上的单调递增．（14分）