Question

如图，矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上任意一点，点P为线段AE中点，连接BP并延长交边AD于点F，点M为边CD上

如图，矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上任意一点，点P为线段AE中点，连接BP并延长交边AD于点F，点M为边CD上一点，连接FM，且∠1=∠2．（1）若AD=2，DE=1，求AP的长；（2）求证：PB=PF+FM．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE=90°，
∵AD=2，DE=1，
∴AE=

AD2+DE2

=

5

，
∵点P为线段AE中点，
∴AP=

1

2

AE=

5

2

；

（2）延长BF交CD的延长线于点N，
∵点P为线段AE中点，
∴AP=PE，
∵AB∥CD，
∴∠PEN=∠PAB，∠2=∠N，
∵在△APB和△EPN中，

∠2＝∠N ∠PAB＝∠PEN PA＝PE

，
∴△APB≌△EPN（AAS），
∴PB=PN，
∵∠1=∠2，∠2=∠N，
∴∠1=∠N，
∴FN=FM，
∴PB=PN=PF+FN=PF+FM，
∴PB=PF+FM．

Answer 2

（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE=90°，∵AD=2，DE=1，∴AE=AD2+DE2=5，∵点P为线段AE中点，∴AP=12AE=52；（2）延长BF交CD的延长线于点N，∵点P为线段AE中点，∴AP=PE，∵AB∥CD，∴∠PEN=∠PAB，∠2=∠N，∵在△APB和△EPN中，∠2＝∠N∠PAB＝∠PENPA＝PE，∴△APB≌△EPN（AAS），∴PB=PN，∵∠1=∠2，∠2=∠N，∴∠1=∠N，∴FN=FM，∴PB=PN=PF+FN=PF+FM，∴PB=PF+FM．

Answer 3

（1）∵四边形ABCD是矩形
∴∠ADE=90°
∵AD=2，DE=1
∴AE=AD2+DE2=5
∵点P为线段AE中点
∴AP=12AE=52
（2）延长BF交CD的延长线于点N
∵点P为线段AE中点
∴AP=PE
∵AB∥CD
∴∠PEN=∠PAB，∠2=∠N
∵在△APB和△EPN中，∠2＝∠N，∠PAB＝∠PEN，PA＝PE
∴△APB≌△EPN（AAS）
∴PB=PN
∵∠1=∠2，∠2=∠N
∴∠1=∠N
∴FN=FM
∴PB=PN=PF+FN=PF+FM
∴PB=PF+FM．