（2014?鄂州模拟）如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E、F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD
（2014?鄂州模拟）如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E、F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4．将四边形E...
（2014?鄂州模拟）如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E、F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4．将四边形EFCD沿EF折起成如图2的位置，使AD=AE．（1）求证：AF∥平面CBD；（2）求平面CBD与平面DAE所成锐角的余弦值．
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解答：（1）证明：取DE的中点G，连结FG，AG，CG，
∵翻折前E、F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4，
∴翻折后AD=AE=2CF，
∴CF
DG，CG
AB，
∴FG∥CD，AG∥BC，
∴平面AFG∥平面CBD，
∴AF∥平面CBD．
（2）如图以AE中点为原点，AE为x轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则由题意知A（-1，0，0），D（0，0，
），
B（-1，-2，0），E（1，0，0），
∴DE的中点坐标为（
，0，
），
∵
＝
，∴C（
，?2，
），
∵
是平面ADE的一个法向量，即
＝
＝(0，2，0)，
设平面BCD的一个法向量为
＝(x，y，z)，
∵
＝(
，0，
)，
＝(1，2，
)，
∴
∵翻折前E、F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4，
∴翻折后AD=AE=2CF，
∴CF
| ∥ |
. |
| ∥ |
. |
∴FG∥CD，AG∥BC，
∴平面AFG∥平面CBD，
∴AF∥平面CBD．
（2）如图以AE中点为原点，AE为x轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则由题意知A（-1，0，0），D（0，0，
| 3 |
B（-1，-2，0），E（1，0，0），
∴DE的中点坐标为（
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∵
| CF |
| 1 |
| 2 |
| DE |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∵
| BA |
| BA |
| n |
设平面BCD的一个法向量为
| m |
∵
| BC |
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| BD |
| 3 |
∴
|
