已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=3,an=2Sn+1+3n(n∈N*,n≥2).(1)求证:数列{Sn3n}是等差数列;(

已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=3,an=2Sn+1+3n(n∈N*,n≥2).(1)求证:数列{Sn3n}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式;(3)令... 已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=3,an=2Sn+1+3n(n∈N*,n≥2).(1)求证:数列{Sn3n}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式;(3)令bn=2n2?5n?3an,如果对任意n∈N*,都有bn+29t<t2成立,求实数t的取值范围. 展开
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真私6519
2015-01-01 · 超过71用户采纳过TA的回答
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(1)∵a1=3,an=2Sn+1+3n(n∈N*,n≥2),
∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1,∴Sn-3Sn-1=3n
Sn
3n
-
Sn?1
3n?1
=1,
∴数列{
Sn
3n
}是以1为首项,1为公差的等差数列;
(2)由(1)得
Sn
3n
=n,
∴Sn=n?3n
∴n≥2时,an=(2n+1)?3n-1
n=1时也成立,
∴an=(2n+1)?3n-1
(3)bn=
2n2?5n?3
an
=
n?3
3n?1

∴bn+1-bn=
?2n+7
2n

∴n=1,2,3时,bn+1>bn,n≥4时,bn+1<bn
∴对任意n∈N*,都有bn
1
27

∵对任意n∈N*,都有bn+
2
9
t<t2,即bn<t2-
2
9
t成立,
1
27
<t2-
2
9
t,
解得t>
1
3
或t<-
1
9
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