Question

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=a（a≠3，a∈R），an+1=Sn+3n，n∈N*（Ⅰ）设bn=Sn-3n ，n∈N*，求{bn}

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=a（a≠3，a∈R），an+1=Sn+3n，n∈N*（Ⅰ）设bn=Sn-3n ，n∈N*，求{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）若an+1≥a，n∈N*，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵a_n+1=S_n+3ⁿ，
又a_n+1=S_n+1-S_n，
∴S_n+1-S_n=S_n+3ⁿ，即Sn+1＝2Sn+3n，
∴Sn+1?3n+1＝2(Sn?3n)．
∴b_n+1=2b_n．
又b₁=S₁-3=a₁-3≠0（a≠3），
∴数列{b_n}是首项为a-3，公比为2的等比数列，
因此bn＝(a?3)?2n?1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，S_n-3ⁿ =（a-3）?2^n-1．
∴Sn＝3n+(a?3)?2n?1．
当n≥2时，an＝Sn?Sn?1＝[3n+(a?3)?2n?1]?[3n?1+(a?3)?2n?2]
=2?3^n-1+（a-3）?2^n-2．
而当n=1时，2?3^n-1+（a-3）?2^n-2=2+（a-3）?2^-1≠a₁，
∴数列{a_n}的通项公式为an＝

a(n＝1) 2?3n?1+(a?3)?2n?2(n≥2)

；
（Ⅲ）由a₂≥a₁，得2?3+（a-3）?1≥a，即3≥0，此时对任何a≠3的实数a恒成立；
当n≥2时，由a_n+1≥a_n，得
2?3ⁿ+（a-3）?2^n-1≥2?3^n-1+（a-3）?2^n-2，
即（a-3）?2^n-2≥2?3^n-1-2?3ⁿ=-4?3^n-1．
∴a≥3?8?(

3

2

)n?1．
∵n≥2时3-8?(

3

2

)n?1的最大值为-9，
∴a≥-9且a≠3．
综上，所求a的范围是[-9，3）∪（3，+∞）．