Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=3，an=2Sn+1+3n（n∈N*，n≥2）．（1）求证：数列{Sn3n}是等差数列；（

已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=3，an=2Sn+1+3n（n∈N*，n≥2）．（1）求证：数列{Sn3n}是等差数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）令bn=2n2?5n?3an，如果对任意n∈N*，都有bn+29t＜t2成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）∵a₁=3，a_n=2S_n+1+3ⁿ（n∈N^*，n≥2），
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，∴S_n-3S_n-1=3ⁿ，
∴

Sn

3n

-

Sn?1

3n?1

=1，
∴数列{

Sn

3n

}是以1为首项，1为公差的等差数列；
（2）由（1）得

Sn

3n

=n，
∴S_n=n?3ⁿ，
∴n≥2时，a_n=（2n+1）?3^n-1，
n=1时也成立，
∴a_n=（2n+1）?3^n-1；
（3）b_n=

2n2?5n?3

an

=

n?3

3n?1

，
∴b_n+1-b_n=

?2n+7

2n

，
∴n=1，2，3时，b_n+1＞b_n，n≥4时，b_n+1＜b_n，
∴对任意n∈N^*，都有b_n≤

1

27

，
∵对任意n∈N^*，都有b_n+

2

9

t＜t²，即b_n＜t²-

2

9

t成立，
∴

1

27

＜t²-

2

9

t，
解得t＞

1

3

或t＜-

1

9

．