在数列{an}中，Sn是数列{an}前n项和，a1=1，当n≥2时，2SnSn-1=-an（I）求证：数列{1Sn}是等差数列；（II
在数列{an}中，Sn是数列{an}前n项和，a1=1，当n≥2时，2SnSn-1=-an（I）求证：数列{1Sn}是等差数列；（II）设bn＝Sn2n+1求数列{bn}...
在数列{an}中，Sn是数列{an}前n项和，a1=1，当n≥2时，2SnSn-1=-an（I）求证：数列{1Sn}是等差数列；（II）设bn＝Sn2n+1求数列{bn}的前n项和Tn；（III）是否存在自然数m，使得对任意自然数n∈N*，都有Tn＞14(m?8)成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由．
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证明：（I）∵当n≥2时，2SnSn-1=-an=Sn-1-Sn
两边同除SnSn-1得：2=
-
∵a1=1，
∴
=1
即{
}是以1为首项，以2为公差的等差数列
（II）由（I）得
=2n-1
即Sn=
∴bn＝
=
=
（
-
）
∴Tn=b1+b2+…+bn=
[（1-
）+（
-
）+…+（
-
）]=
（1-
）=
（III）令T（x）=
，则T′（x）=
两边同除SnSn-1得：2=
| 1 |
| Sn |
| 1 |
| Sn?1 |
∵a1=1，
∴
| 1 |
| S1 |
即{
| 1 |
| Sn |
（II）由（I）得
| 1 |
| Sn |
即Sn=
| 1 |
| 2n?1 |
∴bn＝
| Sn |
| 2n+1 |
| 1 |
| (2n?1)(2n+1) |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2n?1 |
| 1 |
| 2n+1 |
∴Tn=b1+b2+…+bn=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 2n?1 |
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2n+1 |
| n |
| 2n+1 |
（III）令T（x）=
| x |
| 2x+1 |
| 1 |
