设抛物线C的方程为x2=4y，M（x0，y0）为直线l：y=-m（m＞0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB

设抛物线C的方程为x2=4y，M（x0，y0）为直线l：y=-m（m＞0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．（1）当M的坐标为（0，-1... 设抛物线C的方程为x2=4y，M（x0，y0）为直线l：y=-m（m＞0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．（1）当M的坐标为（0，-1）时，求过M，A，B三点的圆的方程，并判断直线l与此圆的位置关系；（2）求证：直线AB恒过定点（0，m）． 展开
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1个回答
#热议# 为什么有人显老，有人显年轻？
去去去士宗Aze2
2014-09-05 · TA获得超过256个赞
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解答：（1）解：当M的坐标为（0，-1）时，设过M点的切线方程为y=kx-1，代入x2=4y，整理得x2-4kx+4=0，
令△=（4k）2-4×4=0，解得k=±1，
代入方程得x=±2，故得A（2，1），B（-2，1），…（2分）
因为M到AB的中点（0，1）的距离为2，
从而过M，A，B三点的圆的方程为x2+（y-1）2=4．
∵圆心坐标为（0，1），半径为2，∴圆与直线l：y=-1相切…（4分）
（2）证法一：设切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），过抛物线上点A（x1，y1）的切线方程为(y?
y
 
1
)＝k(x?x1)，代入x2=4y，整理得x2-4kx+4（kx1-y1）=0△=（4k）2-4×4（kx1-y1）=0，又因为x12＝4y1，所以k＝
x1
2
…（6分）
从而过抛物线上点A（x1，y1）的切线方程为y?
y
 
1
＝
x1
2
(x?x1)即y＝
x1
2
x?
x
2
1
4

又切线过点M（x0，y0），所以得y0＝
x1
2
x0?
x
2
1
4
①即y0＝
x1
2
x0?y1…（8分）
同理可得过点B（x2，y2）的切线为y＝
x2
2
x?
x
2
2
4
，
又切线过点M（x0，y0），所以得y0＝
x2
2
x0?
x
2
2
4
②…（10分）
即y0＝
x2
2
x0?y2…（6分）
即点A（x1，y1），B（x2，y2）均满足y0＝
x
2
x0?y即x0x=2（y0+y），故直线AB的方程为x0x=2（y0+y）…（12分）
又M（x0，y0）为直线l：y=-m（m＞0）上任意一点，故x0x=2（y-m）对任意x0成立，所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）
证法二：设过M（x0，y0）的抛物线的切线方程为y?
y
 
0
＝k(x?x0)（k≠0），代入x2=4y，消去y，得x2-4kx-4（y0-kx0）=0△=（4k）2+4×4（y0-kx0）=0即：k2+x0k+y0=0…（6分）
从而k1＝
?x0+
x
2
0
?4y0
2
，k2＝
?x0?
x
2
0
?4y0
2
此时x1＝
2
k1
，x2＝
2
k2

所以切点A，B的坐标分别为A(
2
k1
，
1
k12
)，B(
2
k2
，
1
k22
)…（8分）
因为kAB＝
y1?y2
x1?x2
＝
x1+x2
4
＝
x0
2
，
x1+x2
2
＝
2
k1
+
2
k2
2
＝
k1+k2
k1k2
＝x0，
y1+y2
2
＝
1
k12
+
1
k22
2
＝
(k1+k2)2?2k1k2
2(k1k2)
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