Question

如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB、AC分别交于点D、E，过点D作DF⊥AC于F。

如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB、AC分别交于点D、E，过点D作DF⊥AC于F。 （1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）过点F作FH⊥BC于H，若等边△ABC的边长为8，求FH的长。

Answer 1

解：（1）DF与⊙O的位置关系是相切。 理由如下：连接OD， ∵△ABC是等边△， ∴∠A=60°，∠B=60°， ∴△OBD是等边三角形， ∴∠BDO=∠A=60°， ∴OD∥AC； 又∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF， ∴DF是⊙O的切线； （2）设AF=x（x>0），则AD=2x，BD=8-2x 2x=8-2x，所以x=2，FC=8-x=8-2=6 在Rt△FHG中，∠C=60°，∠HFC=30°，FH= 。