Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且 S n = 1 2 a n ? a n+1 (n∈ N * ) ，其中a

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且 S n = 1 2 a n ? a n+1 (n∈ N * ) ，其中a 1 =1，a n ≠0．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n }满足 (2 a n -1)( 2 b n -1)=1 ，T n 为{b n }的前n项和，求证：2T n ＞log 2 （2a n +1）n∈N．

Answer 1

（Ⅰ）已知式即 S n = 1 2 a n a n+1 ，故 a n+1 = S n+1 - S n = 1 2 a n+1 a n+2 - 1 2 a n a n+1 ． 由条件知a n+1 ≠0，所以a n+2 -a n =2（n∈N * ）． 由于 a 1 = S 1 = 1 2 a 1 a 2 ，且a 1 =1，故a 2 =2． 于是a 2m-1 =1+2（m-1）=2m-1，a 2m =2+2（m-1）=2m， 所以a n =n（n∈N * ）． （Ⅱ）由 (2 a n -1)( 2 b n -1)=1 ，得 (2n-1)( 2 b n -1)=1 ， 2 b n = 2n 2n-1 ， 故 b n =lo g 2 2n 2n-1 ． 从而 T n = b 1 + b 2 ++ b n =lo g 2 ( 2 1 ? 4 3 ? 6 5 ?? 2n 2n-1 ) ． 2 T n =2lo g 2 ( 2 1 ? 4 3 ? 6 5 ?? 2n 2n-1 ) = lo g 2 ( 2 1 ? 4 3 ? 6 5 ?? 2n 2n-1 ) 2 因此2T n -log 2 （2a n +1）= lo g 2 ( 2 1 ? 4 3 ? 6 5 ?? 2n 2n-1 ) 2 -log 2 （2n+1） = lo g 2 ( 2 1 ? 4 3 ? 6 5 ?? 2n 2n-1 ) 2 +lo g 2 1 2n+1 = lo g 2 [( 2 1 ? 4 3 ? 6 5 ?? 2n 2n-1 ) 2 ? 1 2n+1 ] ． 设 f(n)=( 2 1 ? 4 3 ? 6 5 ?? 2n 2n-1 ) 2 ? 1 2n+1 ， 则 f(n+1)=( 2 1 ? 4 3 ? 6 5 ?? 2n 2n-1 ? 2n+2 2n+1 ) 2 ? 1 2n+3 ， 故 f(n+1) f(n) = 2n+1 2n+3 ?( 2n+2 2n+1 ) 2 = (2n+2) 2 (2n+3)(2n+1) = 4 n 2 +8n+4 4 n 2 +8n+3 ＞1 ， 注意到f（n）＞0，所以f（n+1）＞f（n）． 特别地 f(n)≥f(1)= 4 3 ＞1 ， 从而2T n -log 2 （2a n +1）=log 2 f（n）＞0． 所以2T n ＞log 2 （2a n +1）．