Question

（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分别为PA、BC的中点，PD⊥平面ABCD，且

（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分别为PA、BC的中点，PD⊥平面ABCD，且PD=AD= ，CD=1（1）证明：MN∥平面PCD；（2）证明：MC⊥BD； （3）求二面角A—PB—D的余弦值。

Answer 1

略

解：（1）证明：取AD中点E，连接ME，NE， 由已知M，N分别是PA，BC的中点， ∴ME∥PD，NE∥CD 又ME，NE 平面MNE，ME NE=E， 所以，平面MNE∥平面PCD，           2分 所以，MN∥平面PCD   3分 （2）证明：因为PD⊥平面ABCD， 所以PD⊥DA，PD⊥DC， 在矩形ABCD中，AD⊥DC， 如图，以D为坐标原点， 射线DA，DC，DP分别为 轴、 轴、 轴 正半轴建立空间直角坐标系    则D（0，0，0），A（ ，0，0）， B（ ，1，0） （0，1，0）， P（0，0， ）     5分 所以 （ ，0， ）， ，   6分 ∵ · =0，所以MC⊥BD         7分 （3）解：因为ME∥PD，所以ME⊥平面ABCD，ME⊥BD，又BD⊥MC， 所以BD⊥平面MCE, 所以CE⊥BD，又CE⊥PD，所以CE⊥平面PBD，       由已知 ，所以平面PBD的法向量 M为等腰直角三角形PAD斜边中点，所以DM⊥PA， 又CD⊥平面PAD，AB∥CD，所以AB⊥平面PAD，AB⊥DM， 所以DM⊥平面PAB，          所以平面PAB的法向量 （- ，0， ）      9分 设二面角A—PB—D的平面角为θ， 则 . 所以，二面角A—PB—D的余弦值为 .             12分