（2013?黄浦区一模）已知二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（1，0）与B（3，0），交y轴于点C，其图象
（2013?黄浦区一模）已知二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（1，0）与B（3，0），交y轴于点C，其图象顶点为D．（1）求此二次函数的解析式；（2）试问...
（2013?黄浦区一模）已知二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（1，0）与B（3，0），交y轴于点C，其图象顶点为D．（1）求此二次函数的解析式；（2）试问△ABD与△BCO是否相似？并证明你的结论；（3）若点P是此二次函数图象上的点，且∠PAB=∠ACB，试求点P的坐标．
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解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（1，0）与B（3，0），∴
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解得，
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∴此二次函数的解析式是：y=x2-4x+3；
（2）△ABD与△BCO相似．
理由如下：
∵由（1）知，该抛物线的解析式是y=x2-4x+3=（x-2）2-1．
故C（0，3），D（2，-1）．
∵OC=OB=3，
∴△BCO是等腰直角三角形．
又∵A（1，0）、B（3，0）、D（2，-1），
∴AD=BD=
| 2 |
∴AB2=AD2+BD2
∴∠ADB=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴△ABD与△BCO相似；
（3）延长CA，并过B点做垂直于CA的直线与CA相交与E点，
∵∠CAO=∠BAE，
∠COA=∠BEA，
∴△COA∽△BEA，
∴
| CA |
| BA |
| CO |
| BE |
| OA |
| EA |
根据勾股定理，CA=
| 10 |
则EA=
|
