Question

如图，已知?ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD=DF．过点D作DC的垂线，分别交AE、AB

如图，已知?ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD=DF．过点D作DC的垂线，分别交AE、AB于点M、N．（1）若M为AG中点，且DM=2，求DE的长；（2）求证：AB=CF+DM．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD，
∵∠DAE=∠DEA，
∵DF⊥BC，
∴DF⊥AD，
∵M为AG中点，
∴AG=2DM=4，
∵DN⊥CD，
∴∠ADM+∠MDG=∠MDG+∠EDG，
∴∠ADM=∠EDG，
∴∠DAE+∠ADM=∠DEA+∠EDG，
即∠DMG=∠DGM，
∴DG=DM=2，
在Rt△ADG中，DE=AD=

AG2?DG2

=2

3

；

（2）证明：过点A作AD的垂线交DN的延长线于点H，
在△ADH和△FDC中，

∠ADH＝∠FDC AD＝FD ∠DAH＝∠DFC＝90°

，
∴△DAH≌△DFC（ASA），
∴AH=FC，DH=DC，
∵DF⊥AD，
∴AH∥DF，
∴∠HAM=∠DGM，
∵∠AMH=∠DMG，∠DMG=∠DGM，
∴∠HAM=∠HMA，
∴AH=MH，
∴MH=CF，
∴AB=CD=DH=MH+DM=CF+DM．

Answer 2

解： (1)如图①所示；

∵在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD

且DF⊥BC，DN⊥CD

∴∠1=∠2=∠3=∠4，∠2+∠5=90°

又∵M为AG中点，DM=2

∴在Rt△ADG中，AM=GM=DM=2，即AG=4

∴∠5=∠6=∠3+∠4=2∠2，即有∠1=∠2=30°

故DE=AD=AG·cos∠1=2√3

(2)如图②所示， 证明：

过点A作AD的垂线交DN延长线于H；

∵ 在Rt△DAH和Rt△DFC中，∠1=∠2，AD=DF

∴Rt△DAH≌Rt△DFC，即有HA=CF，DH=DC=AB

∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠5=∠6，DM=DG

又∵∠5=∠7，∠6=∠HAM，那么△AHM∽△GDM

∴HM=HA=CF

故AB=CF+DM.

Answer 3

还好，可以作为中考压轴题