已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1，若xf′（x）≤x2+ax+1在区间（0，+∞）恒成立，则a的取值范围是______
已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1，若xf′（x）≤x2+ax+1在区间（0，+∞）恒成立，则a的取值范围是______．...
已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1，若xf′（x）≤x2+ax+1在区间（0，+∞）恒成立，则a的取值范围是______．
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函数的定义域为（0，+∞）
求导函数，可得f′(x)＝
+lnx-1=lnx+
，
∴xf′（x）=xlnx+1，
题设xf′（x）≤x2+ax+1等价于lnx-x≤a，
令g（x）=lnx-x，则g′（x）=
，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当x≥1时，g′（x）≤0，
∴x=1是g（x）的最大值点，
∴g（x）≤g（1）=-1，
综上，a的取值范围是[-1，+∞）．
求导函数，可得f′(x)＝
| x+1 |
| x |
| 1 |
| x |
∴xf′（x）=xlnx+1，
题设xf′（x）≤x2+ax+1等价于lnx-x≤a，
令g（x）=lnx-x，则g′（x）=
| 1 |
| x |
当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当x≥1时，g′（x）≤0，
∴x=1是g（x）的最大值点，
∴g（x）≤g（1）=-1，
综上，a的取值范围是[-1，+∞）．
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