Question

在锐角三角形ABC中，BC= ，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是

在锐角三角形ABC中，BC= ，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是 。

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Answer 1

解：（1）证明：在等腰梯形ABCD中，AB=DC，∴∠B=∠C。 ∵OE=OC，∴∠OEC=∠C，∴∠B=∠OEC。∴OE∥AB。 （2）证明：过点O作OF⊥AB于点F，过点O作OG∥BC交AB于点G。 ∵AB=DC，∴∠B=∠C。 ∴OC=OE，∴∠OEC=∠C。∴∠OEC=∠B。∴OE∥GB。 又∵EH⊥AB，∴FO∥HE。∴四边形OEHF是平行四边形。∴OF=EH。 又∵EH= CD，∴OF= CD，即OF是⊙O的半径。 ∴AB是⊙O的切线。 （3）连接DE。 ∵CD是直径，∴∠DEC=90°。∴∠DEC=∠EHB。 又∵∠B=∠C，∴△EHB∽△DEC。∴ 。 ∵BE=4BH，设BH=k，则BE=4k， ， ∴CD=2EH=2 。∴ 。

（1）判断出∠B=∠OEC，根据同位角相等得出OE∥AB。 （2）过点O作OF⊥AB于点F，过点O作OG∥BC交AB于点G，证明OF是⊙O的半径即可。 （3）求出△EHB∽△DEC，根据相似三角形的性质和勾股定理解答。