Question

已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD 2 ＋CD 2 ＝2AB 2 ． （1）求证：AB＝BC；（2）

已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD 2 ＋CD 2 ＝2AB 2 ． （1）求证：AB＝BC；（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD．

Answer 1

（1）连接AC，先根据勾股定理可得 ， ，再结合 ，可得 ，从而证得结果； （2）过C作CF⊥BE于F，即可证得四边形CDEF是矩形，则可得CD＝EF，根据同角的余角相等可得∠BAE＝∠CB，即可证得△BAE≌△CBF，则可得AE＝BF，从而得到结果.

试题分析：（1）连接AC ∵∠ABC＝90° ∴AB 2 ＋BC 2 ＝AC 2 ∵CD⊥AD ∴AD 2 ＋CD 2 ＝AC 2 ∵AD 2 ＋CD 2 ＝2AB 2 ∴AB 2 ＋BC 2 ＝2AB 2 ∴AB＝BC； （2）过C作CF⊥BE于F ∵BE⊥AD ∴四边形CDEF是矩形. ∴CD＝EF ∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90° ∴∠BAE＝∠CB ∴△BAE≌△CBF. ∴AE＝BF ∴BE＝BF＋EF＝AE＋CD. 点评：本题知识点较多，综合性强，读懂题意及图形，正确作出辅助线是解题的关键.