Question

设数列{an}的前n项和为Sn，并且满足an＞0，2Sn=an2+n（n∈N*）．（1）求a1，a2，a3；（2）猜测数列{an}的

设数列{an}的前n项和为Sn，并且满足an＞0，2Sn=an2+n（n∈N*）．（1）求a1，a2，a3；（2）猜测数列{an}的通项公式，并加以证明；（3）求证：1a21+1a22+1a23+…+1a2n＜74．

Answer 1

（1）分别令n=1，2，3，得

2a1＝ a 2 1 +1 2(a1+a2)＝ a 2 2 +2 2(a1+a2+a3)＝ a 2 3 +3

∵a_n＞0，∴a₁=1，a₂=2，a₃=3．
（2）由（1）的结论：猜想a_n=n
1）当n=1时，a₁=1成立；
2）假设当n=k时，a_k=k．
那么当n=k+1时，
∵2S_k+1=a_k+1²+k+1，∴2（a_k+1+S_k）=a_k+1²+k+1，
∴a_k+1²=2a_k+1+2S_k-（k+1）=2a_k+1+（k²+k）-（k+1）=2a_k+1+（k²-1）?[a_k+1-（k+1）][a_k+1+（k-1）]=0．
∵a_k+1+（k-1）＞0，∴a_k+1=k+1，这就是说，当n=k+1时也成立，
故对于n∈N*，均有a_n=n．
（3）当n=1，2时，显然成立．
当n≥3时，

1

a 2 1

+

1

a 2 2

+

1

a 2 3

+…+

1

a 2 n

=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+

1

4

+(

1

2

?

1

3

)+…+(

1

n?1

?

1

n

)
=1+

1

4