Question

如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（0，4），抛物线y=-x2+mx+

如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（0，4），抛物线y=-x2+mx+n经过点A和C．（1）求抛物线的解析式．（2）该抛物线的对称轴将平行四边形ABCO分成两部分，对称轴左侧部分的图形面积记为S1，右侧部分图形的面积记为S2，求S1与S2的比．（3）在y轴上取一点D，坐标是（0，72），将直线OC沿x轴平移到O′C′，点D关于直线O′C′的对称点记为D′，当点D′正好在抛物线上时，求出此时点D′坐标并直接写出直线O′C′的函数解析式．

Answer 1

（1）如图1，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴BC=OA，BC∥OA．
∵A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（0，4），
∴点C的坐标为（2，4）．
∵抛物线y=-x²+mx+n经过点A和C．
∴

0＝?4?2m+n 4＝?4+2m+n

．
解得：

m＝1 n＝6

．
∴抛物线的解析式为y=-x²+x+6．

（2）如图1，
∵抛物线的解析式为y=-x²+x+6．
∴对称轴x=-

b

2a

=

1

2

，
设OC所在直线的解析式为y=ax，
∵点C的坐标为（2，4），
∴2a=4，即a=2．
∴OC所在直线的解析式为y=2x．
当x=

1

2

时，y=1，则点F为（

1

2

，1）．
∴S₂=

1

2

EC?EF
=

1

2

×（2-

1

2

）×（4-1）=

9

4

．
∴S₁=S_{四边形ABCO}-S₂=2×4-

9

4

=

23

4

．
∴S₁：S₂=

23

4

：

9

4

=23：9．
∴S₁与S₂的比为23：9．

（3）过点D作DM⊥CO，交x轴于点M，如图2，
∵点C的坐标为（2，4），
∴tan∠BOC=