Question

（2014?长沙一模）如图，在?ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠BMC=90°，连接AN，DN，AN与BM交于点O．

（2014?长沙一模）如图，在?ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠BMC=90°，连接AN，DN，AN与BM交于点O．（1）求证：△ABM≌△CDN；（2）点P在直线BM上，若BM=3，CM=4，求△PND的周长的最小值．

Answer 1

（1）证明：∵在?ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，
∴AB=CD，
在△ABM和△CDN中，

AB＝CD ∠BAM＝∠DCM AM＝CN

，
∴△ABM≌△CDN（SAS）；

（2）解：∵在?ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，
∴AM∥BN，AM=NB，
∴四边形ABNM为平行四边形；
在Rt△BCM中，N为BC中点，
∴MN=BN，
∴平行四边形ABNM为菱形．
∴BM垂直平分AN，
∴点N关于BM的对称点为点A．
∴当点P位于点M时，NP+DP取到最小值为AD．
在Rt△BCM中，BM=3，CM=4，
由勾股定理得BC=AD=5，
又由（1）知，BM=DN=3，
∴△PND的周长的最小值：5+3=8．