Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（0°＜α＜90°）（1）当

如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（0°＜α＜90°）（1）当α=60°时，求CE的长；（2）①在图1中，60°＜α＜90°，取BC中点G，连接FG，CF，∠EFD=k∠DCF（k为正整数），试猜想k的值，并证明你的猜想；②在图2中，0°＜α＜60°，作CE⊥AB交BA的延长线于E，取BC中点G，连接FG，CF，直接写出∠EFD与∠DCF的等量关系．（3）在图1中，当60°＜α＜90°时，当BE为多少时，CE2-CF2取最大，最大值为多少？

Answer 1

（1）∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∵∠B=60°，BC=10，
∴BE=

1

2

BC=5，
由勾股定理得：CE=

102?52

=5

3

；

（2）①k=3，
证明：如图，∵AB=5，BC=10，四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=10，DC=AB=5，AD∥BC，
∵F、G分别为AD、BC的中点，
∴DF=DC=CG=AF=BG=5，DF∥CG，
∴四边形ABGF和四边形CDFG是平行四边形，
∴FG∥AB∥CD，FG=CD=AB，
∵CE⊥AB，
∴FG⊥CE，
∵G为AB中点，
∴EQ=CQ，
∴EF=FC，
∴∠EFQ=∠CFG，
∵DF=DC=5，
∴∠DFC=∠DCF，
∵FG∥CD，
∴∠CFG=∠DCF，
即∠EFD=3∠DCF，
∴k=3；
②
由①知：∠CFG=∠EFG=∠DCF=∠DFC，
∵∠EFD+∠EFG+∠CFG+∠DFC=360°，
∴∠EFD+3∠DCF=360°；

（3）如图3，过A作AN⊥BC于N，过F作FM⊥BC于M，
∵AD∥BC，
∴AN=FM，AF=MN=5，
∵AN⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ANB=∠CEB=90°
∵∠B=∠B，
∴△ANB∽△CEB，
∴

AB

BC

＝

BN

BE

＝

5

10

，
∴BN=

1

2

BE=

1

2

x，
在Rt△ANB中，由勾股定理得：AN²=FM²=5²-（

1

2

x）²，
CM=BC-AF-BN=10-5-

1

2

x=5-

1

2

x，
∴CE²-CF²=（10²-x²）-[5²-（

1

2

x）²+（5-

1

2

x）²]=-x²+5x+50，
当x=-

5

2×(?1)

=

5

2

时，CE²-CF²取最大值，是

225

4

．