Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．（1）

如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．（1）当α=60°时，求CE的长；（2）当60°＜α＜90°时，①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．②连接CF，当CE 2 -CF 2 取最大值时，求tan∠DCF的值．

Answer 1

（1）∵α=60°，BC=10， ∴sinα= CE BC ， 即sin60°= CE 10 = 3 2 ， 解得CE=5 3 ； （2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF． 理由如下：连接CF并延长交BA的延长线于点G， ∵F为AD的中点， ∴AF=FD， 在平行四边形ABCD中，AB ∥ CD， ∴∠G=∠DCF， 在△AFG和△DFC中， ∠G=∠DCF ∠AFG=∠DFC(对顶角相等) AF=FD ， ∴△AFG≌△DFC（AAS）， ∴CF=GF，AG=CD， ∵CE⊥AB， ∴EF=GF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∴∠AEF=∠G， ∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点， ∴AG=5，AF= 1 2 AD= 1 2 BC=5， ∴AG=AF， ∴∠AFG=∠G， 在△EFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF， 又∵∠CFD=∠AFG（对顶角相等）， ∴∠CFD=∠AEF， ∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF， 因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF； ②设BE=x，∵AG=CD=AB=5， ∴EG=AE+AG=5-x+5=10-x， 在Rt△BCE中，CE 2 =BC 2 -BE 2 =100-x 2 ， 在Rt△CEG中，CG 2 =EG 2 +CE 2 =（10-x） 2 +100-x 2 =200-20x， ∵由①知CF=GF， ∴CF 2 =（ 1 2 CG） 2 = 1 4 CG 2 = 1 4 （200-20x）=50-5x， ∴CE 2 -CF 2 =100-x 2 -50+5x=-x 2 +5x+50=-（x- 5 2 ） 2 +50+ 25 4 ， ∴当x= 5 2 ，即点E是AB的中点时，CE 2 -CF 2 取最大值， 此时，EG=10-x=10- 5 2 = 15 2 ， CE= 100- x 2 = 100- 25 4 = 5 15 2 ， 所以，tan∠DCF=tan∠G= CE EG = 5 15 2 15 2 = 15 3 ．