Question

数学分析：设f(x)在[a,b]上可积，g(y)在[c,d]上可积，证明：f(x)g(y)在D=[a,b]*[c,d]可积，且积分等于。

设f(x)在[a,b]上可积，g(y)在[c,d]上可积，证明：f(x)g(y)在D=[a,b]*[c,d]可积，且积分等于。。。。。如上图所示

Answer 1

Answer 2

设f（x）的原函数是F(x)
那么∫a→ξf(x)dx=F(ξ)-F(a)
∫ξ→bf(x)=F(b)-F(ξ)
要证∫a→ξf(x)dx=∫ξ→bf(x)
即证F(ξ)-F(a)
=F(b)-F(ξ)
即证至少存在一点ξ∈[a,b],
F(ξ)=（F(a)+F(b)）/2
因为f(x)在[a,b]可积，所以F(x)在[a,b]连续；所以Fx)在[a,b]上存在最大值M，最小值m
所以F(a),F(b)属于[m,M],所以（F(a)+F(b)）/2属于[m,M]
由介值性定理，即证至少存在一点ξ∈[a,b],
F(ξ)=（F(a)+F(b)）/2
所以至少存在一点ξ∈[a,b],使得∫a→ξf(x)dx=∫ξ→bf(x)

追问

我的问题是第六题哦？答案不是这一题呀

追答

对任意t\in \mathbb{R} 有 \int_a^b(tf(x)-g(x))^2dx \geq 0

整理一下,即 t^2\int_a^bf^2(x)dx -2t\int_a^bf(x)g(x)dx + \int_a^bg^2(x)dx \geq 0

把不等式左边看成关于t的二次方程。则要使不等式恒成立，须：
\Delta = 4 (\int_a^bf(x)g(x)dx )^2-4\int_a^bf^2(x)dx \int_a^bg^2(x)dx \leq 0

故得证。