Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF=CE，求

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF=CE，求证：FK ∥ AB．

Answer 1

证明：过点K作MK ∥ BC，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=∠CAE，

又∵∠ACB=90°，CD⊥AB，

∴∠BAE+∠DKA=∠CAE+∠CEA=90°，

∴∠DKA=∠CEA，

又∵∠DKA=∠CKE，

∴∠CEA=∠CKE，∴CE=CK，又CE=BF，

∴CK=BF（4分）

而MK ∥ BC，

∴∠B=∠AMK，

∴∠BCD+∠B=∠DCA+∠BCD=90°，

∴∠AMK=∠DCA，

在△AMK和△ACK中，

∴∠AMK=∠ACK，AK=AK，∠MAK=∠CAK，

∴△AMK≌△ACK，（4分）

∴CK=MK，

∴MK=BF，MK ∥ BF，

四边形BFKM是平行四边形，（2分）

∴FK ∥ AB．（2分）