Question

如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点 M处，点

如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P， 连接EP。（1）如图②，若M为AD边的中点， ①△AEM的周长=_____cm；②求证：EP=AE+DP； （2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），△PDM的周长是否发生变化?请说明理由。

Answer 1

解：（1）①6； ②取EP的中点G，连接MG， 梯形AEPD中， ∵M、G分别是AD、EP的中点， ∴MG= ， 由折叠，得∠EMP=∠B=90°， 又G为EP的中点， ∴MG= ， 故EP=AE+DP；
（2）△PMD的周长保持不变， 证明：设AM=xcm，则DM=（4-x）cm， Rt△EAM中，由 ，可得AE=2- ， ∵∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠PMD=90°， ∴∠AEM=∠PMD， 又∵∠A=∠D=90°， ∴△AEM∽△DMP， ∴ ， 即 ， ∴ =8cm， 故△PMD的周长保持不变。