Question

已知公差大于零的等差数列{a n }的前n项和为S n ，且满足：a 3 ·a 4 =117,a 2 +a 5 =22.（1）求通项a n

已知公差大于零的等差数列{a n }的前n项和为S n ，且满足：a 3 ·a 4 =117,a 2 +a 5 =22.（1）求通项a n ;(2)若数列{b n }满足b n = ,是否存在非零实数c使得{b n }为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）a n =1+(n-1)×4=4n-3（2）c=-

（1）由等差数列的性质得，a 2 +a 5 =a 3 +a 4 =22,所以a 3 、a 4 是关于x的方程x 2 -22x+117=0的解，又公差大于零，所以a 3 =9,a 4 =13. 易知a 1 =1,d=4,故通项为a n =1+(n-1)×4=4n-3. (2)由(1)知S n = =2n 2 -n, 所以b n = = . 方法一 所以b 1 = ,b 2 = ,b 3 = (c≠0). 令2b 2 =b 1 +b 3 ,解得c=- . 当c=- 时，b n = =2n, 当n≥2时，b n -b n-1 =2. 故当c=- 时，数列{b n }为等差数列. 方法二 当n≥2时， b n -b n-1 = = , 欲使{b n }为等差数列， 只需4c-2=2(2c-1)且-3c="2c(c-1)" (c≠0) 解得c=- .