Question

（2012?江西模拟）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞c＞0，a2=b2+c2）的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心

（2012?江西模拟）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞c＞0，a2=b2+c2）的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b-c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于32（a-c）．（1）证明：椭圆上的点到点F2的最短距离为a-c；（2）求椭圆的离心率e的取值范围；（3）设椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F2截得的弦长s的最大值．

Answer 1

解：（1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x₀，y₀），
Q点到右准线的距离为d=

a2

c

-x₀，
则由椭圆的第二定义知：

|QF2|

d

=

c

a

，
∴|QF₂|=a-

c

a

x0，又-a≤x₀≤a，
∴当x₀=a时，
∴|QF₂|_min=a-c．

（2）依题意设切线长|PT|=

|PF 2|2?(b?c) 2

∴当且仅当|PF₂|取得最小值时|PT|取得最小值，
∴

(a?c)2?(b?c) 2

≥

3

2

（a-c），
∴0＜

b?c

a?c

≤

1

2

，从而解得

3

5

≤e＜

2

2

，
故离心率e的取值范围是解得

3

5

≤e＜

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