Question

已知函数f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x+b，若函数f（x）在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围

已知函数f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x+b，若函数f（x）在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围．

Answer 1

由f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x+b，得
f′（x）=3x²+2（1-a）x-a（a+2）=（x-a）[3x+（a+2）]
因为函数f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x+b（a，b∈R）在区间（-1，1）上不单调，
所以f（x）至少有一个极值点在区间（-1，1）内，
a≠-

1

2

时，f（x）有两个不相同的极值点x₁=a和x₂=-

a+2

3

．
①a=-

1

2

时，f（x）严格单调增加．
②若-1＜x₁＜1，得-1＜a＜1．
③若-1＜x₂＜1，即-1＜-

a+2

3

＜1，可得-5＜a＜1．
综合①、②、③，
可得a的取值范围是（-5，-

1

2

）∪（-

1

2

.1）．