Question

已知，AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=α，M、N分别是AD、CE的中点．（1）如图1，若α=60゜，求∠BMN；（2）

已知，AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=α，M、N分别是AD、CE的中点．（1）如图1，若α=60゜，求∠BMN；（2）如图2，若α=90゜，∠BMN=______；（3）将图2的△BDE绕B点逆时针旋转一锐角，在图3中完成作图，则∠BMN=______．

Answer 1

（1）如图1，连接BN，
∵∠ABC=∠DBE，
∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，
即∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，

AB＝BC ∠ABD＝∠CBE BD＝BE

，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠DAB=∠ECB，AD=CE，
又∵M、N分别是AD、CE的中点，
∴AM=CN，
在△AMB和△CNB中，

AB＝BC ∠DAB＝∠ECB AM＝CN

，
∴△AMB≌△CNB（SAS），
∴BM=BN，∠ABM=∠CBN，
∴∠MBN=∠CBN+∠CBM=∠ABM+∠CBM=∠ABC=60°，
∴△BMN是等边三角形，
∴∠BMN=60°；

（2）如图2，同理可求BM=BN，∠MBN=∠ABC=90°，
∴△BMN是等腰直角三角形，
∴∠BMN=45°；

（3）如图3，与（2）的解答相同，∠BMN=45°．

Answer 2

（1）如图1，连接BN，
∵∠ABC=∠DBE，
∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，
即∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，

AB＝BC ∠ABD＝∠CBE BD＝BE

，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠DAB=∠ECB，AD=CE，
又∵M、N分别是AD、CE的中点，
∴AM=CN，
在△AMB和△CNB中，

AB＝BC ∠DAB＝∠ECB AM＝CN

，
∴△AMB≌△CNB（SAS），
∴BM=BN，∠ABM=∠CBN，
∴∠MBN=∠CBN+∠CBM=∠ABM+∠CBM=∠ABC=60°，
∴△BMN是等边三角形，
∴∠BMN=60°；

（2）如图2，同理可求BM=BN，∠MBN=∠ABC=90°，
∴△BMN是等腰直角三角形，
∴∠BMN=45°；

（3）如图3，与（2）的解答相同，∠BMN=45°．