Question

如图1所示，已知：在矩形ABCD中，AB=6，点P在AD边上．（1）如果∠BPC=90°，求证：△ABP∽△DPC；（2）在

如图1所示，已知：在矩形ABCD中，AB=6，点P在AD边上．（1）如果∠BPC=90°，求证：△ABP∽△DPC；（2）在问题（1）中，当AD=13时，求tan∠PBC；（3）如图2所示，原题目中的条件不变，且AP=3，DP=9，M是线段BP上一点，过点M作MN∥BC交PC于点N，分别过点M，N作ME⊥BC于点E，NF⊥BC于点F，并且矩形MEFN和矩形ABCD的长与宽之比相等，求MN．

Answer 1

解答：（1）证明：∵∠BPC=90°，∠D=90°，
∴∠BPA+∠DPC=∠PCD+∠DPC=90°，
∴∠APB=∠PCD；
又∵∠A=∠D=90°，
∴△ABP∽△DPC．

（2）解：设AP=x，则PD=AD-AP=13-x；
由（1）知：△ABP∽△DPC，得：

AP

CD

＝

AB

DP

，即

x

6

＝

6

13?x

，化简得：
x²-13x+36=0，解得x=4，x=9；
在Rt△APB中，当AP=4时，tan∠APB=

AB

AP

=

3

2

；
当AP=9时，tan∠APB=

AB

AP

=

6

9

=

2

3

；
由于AD∥BC，则∠APB=∠PBC，
故∠PBC的正切值为

2

3

或

3

2

．

（3）解：过P作PH⊥BC于H，交MN于G，则PG⊥MN；
由题意知：AB=6，AD=AP+PD=12，即AD=2AB；
①当MN=2ME时，设ME=x，则MN=2x，PG=6-x；
由于MN∥BC，则△PMN∽△PBC，得：

PG

PH

＝

MN

BC

，即

6?x

6

＝

2x

12

；
解得：x=3，故MN=2x=6；
②当ME=2MN时，设MN=m，则ME=2m，PG=6-2m，同①可得：

PG

PH

＝

MN

BC

，即

6?2m

6

＝

m

12

；
解得：m=2.4，即MN=2.4；
综上所述，MN的值为6或2.4．