Question

如图，在矩形ABCD中，AB =6，AD =11。直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边始终

如图，在矩形ABCD中，AB =6，AD =11。直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边始终经过点C，另一直角边与AB交于点E。 （1）△CDP与△PAE相似吗？如果相似，请写出证明过程； （2）当∠PCD =30°时，求AE的长；（3）是否存在这样的点P，使△CDP的周长等于△PAE周长的2倍？若存在，求DP的长；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）△CDP∽△PAE 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠D=∠A=90°，CD=AB=6 ∴ ∠PCD+∠DPC=90° 又∵ ∠CPE=90° ∴ ∠EPA+∠DPC=90° ∴ ∠PCD=∠EPA ∴ △CDP∽△PAE （2）在Rt△PCD中，由tan∠PCD = （3）假设存在满足条件的点P，设DP=x，则AP=11-x 由△CDP∽△PAE知 ， ∴ ， 解得x=8， 此时AP=3，AE=4