Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R)的最小值为-1,且关于x的一元二次不等式ax^2

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R)的最小值为-1,且关于x的一元二次不等式ax^2+bx+c＞0的解集为（负无穷，-2）∪（0，正无穷）
(1)求函数y=f（x）的解析式
（2设F（x）=tf（x）-x-3其中t≥0，求函数F（x）在x∈【-3/2，2】是的最大值H（t）
（3）若g(x)=f(x)+k(k为实数)，对任意m∈【0，正无穷），总存在n∈【0，正无穷）使得g（m）=H（n）成立，求实数k的取值范围

Answer 1

1)由题意，-2和0是方程ax^2 + bx + c = 0的两根，即得c = 0、b = 2a
∵函数有最小值，∴f(x)开口向上，∴a>0，f(x) = a(x+1)^2 - a最小值为-a = -1，∴a = 1，b = 2
∴y = f(x) = x^2 + 2x
2)F(x) = t*x^2 + 2tx - x - 3 = t*x^2 + (2t-1)x - 3 = t* {x - [(2t-1)/(2t)]}^2 - [(2t-1)^2 /(4t)] - 3
当对称轴x = (2t-1)/(2t) 在[-3/2，2]之内时，H(t) = F(2) = 8t - 5
由不等式组：-3t《2t-1 ，2t-1《4t，求得t范围：t》1/5；
当对称轴x = (2t-1)/(2t) 在[-3/2，2]右边时，H(t) = F(-3/2) = (9t/4) - 3t - (3/2) = -(3t/4) - (3/2)
解不等式(2t-1)/(2t)>2，得到t范围0>t>-1/2，与t》0矛盾；
当对称轴x = (2t-1)/(2t) 在[-3/2，2]左边时，H(t) = F(2) = 8t - 5，解不等式(2t-1)/(2t)<-3/2
得到t范围：0<t<1/5
3)g(x)-k = f(x) 》-1，即k《1+g(x)，∵f(x)在[0，+∞)单调递增，∴g(x)也在[0，+∞)单调递增
即g(0)是g(x)的最小值，∴只需满足k《1+g(0)