Question

设向量组α1，α2，……αs能由向量组β1，β2，……βt线性表示为（α1，α2，……αs）＝（β

设向量组α1，α2，……αs能由向量组β1，β2，……βt线性表示为（α1，α2，……αs）＝（β1，β2，……βt）A，其中A为t×s矩阵，且β1，β2，……βt线性无关，证明：α1，α2，……αs线性无关的充分必要条件是R（A）＝s

Answer 1

记B=(β1，β2，……βt)，C=(α1，α2，……αs)，则原等式方程可以表示为BA=C。取一s维纵向量x，有BAx=Cx，记Cx=y，亦是一个s维纵向量。另记s维纵向量z=Ax，那么有Bz=y。
·充分性：当r(C)=r(B)=s，那么方程Cx=y、Bz=y均有唯一解，即对于确定的z，方程Ax=z亦有唯一解，此时必有r(A)=s
·必要性：把充分性的证明翻回去即可，当r(A)=s，方程Ax=z有唯一解，即y=Bz唯一，即对于确定的y，方程Cx=y有唯一解，此时必有r(C)=s

Answer 2

放弃吧！这不是正常地球人会做的

追问

棒棒哒～