Question

已知正四棱柱ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，AA 1 =2AB，则CD与平面BDC 1 所成角的正弦值等于（　　） A．

已知正四棱柱ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，AA 1 =2AB，则CD与平面BDC 1 所成角的正弦值等于（　　） A． 2 3 B． 3 3 C． 2 3 D． 1 3

Answer 1

设AB=1，则AA 1 =2，分别以 D 1 A 1 、 D 1 C 1 、 D 1 D 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 如下图所示： 则D（0，0，2），C 1 （0，1，0），B（1，1，2），C（0，1，2）， DB =（1，1，0）， D C 1 =（0，1，-2）， DC =（0，1，0）， 设 n =（x，y，z）为平面BDC 1 的一个法向量，则 n ? DB =0 n ? D C 1 =0 ，即 x+y=0 y-2z=0 ，取 n =（-2，2，1）， 设CD与平面BDC 1 所成角为θ，则sinθ=| n ? DC | n || DC | |= 2 3 ， 故选A．