Question

已知函数f（x）=lnx+ax和g（x）=x2-4x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x

已知函数f（x）=lnx+ax和g（x）=x2-4x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），则实数a的取值范围是______．

Answer 1

∵函数f（x）=lnx+ax和g（x）=x²-4x+2，
若对任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），
∴f（x₁）_max＜g（x₂）_max．
∵f′(x)＝

1

x

+a，x₁∈（0，+∞），
由f′（x）=0，得x=-

1

a

．
∴f(x1)max＝f(?

1

a

)＝ln(?

1

a

)?1 ．
∵g′（x）=2x-4，x₂∈[0，1]，
∴g′（x₂）＜0，∴g（x₂）_max=g（0）=0-4×0+2=2．
∴由f（x₁）_max＜g（x₂）_max，得ln（-

1

a

）-1＜2，
∴ln（-

1

a

）＜lne³，
解得a＜-

1

e3

．
故答案为：（-∞，-

1

e3

）．