Question

如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F，交AC于点H．（1）求证：CF=BF；（2）求证：

如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F，交AC于点H．（1）求证：CF=BF；（2）求证：CB2=CH?CA；（3）若AH=5，当BH：AB=2：3时，CH=______．





Answer 1

（1）证明：连接BC，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∴∠BDE+∠CBA=90°，∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠BDE=∠CAB，
∵弧CD=弧BC，
∴∠CBF=∠CAB，
∴∠BCE=∠CBF，
∴CF=BF；

（2）证明：∵∠CBF=∠CAB，∠BCH=∠BCA，
∴△CBH∽△CAB，
∴

BC

CH

=

CA

BC

，
∴CB²=CH?CA；

（3）解：∵△CBH∽△CAB，BH：AB=2：3，AH=5，
∴

BH

AB

=

BC

AC

=

CH

BC

=

2

3

，
∴设CH=2x，BC=3x，
∴

3x

5+2x

=

2

3

，
x=2，
即CH=4，
故答案为：4．