Question

（2014?乌鲁木齐）如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O与边AB交于点D，E为BD的中点，连接CE交AB于点F，AF=A

（2014?乌鲁木齐）如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O与边AB交于点D，E为BD的中点，连接CE交AB于点F，AF=AC．（1）求证：直线AC是⊙O的切线；（2）若AB=10，BC=8，求CE的长．





Answer 1

（1）证明：连接BE，如图，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBF+∠EFB=90°，
∵E为

BD

的中点，
∴弧DE=弧BE，
∴∠EBD=∠BCE，
∵AC=AF，
∴∠ACF=∠AFC，
而∠AFC=∠EFB，
∴∠EFB=∠ACF，
∴∠ACF+∠BCE=90°，
∴OC⊥AC，
∵AC经过○O的半径OC的外端点C，
∴直线AC是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，
∴AC=

AB2?BC2

=6，
∴AF=AC=6，
∴BF=4，
∵∠EBF=∠ECB，
∴Rt△EBF∽Rt△ECB，
∴

BE

CE

=

BF

CB

=

4

8

=

1

2

，
∴BE=

1

2

CE，
在Rt△BCE中，
∵BE²+CE²=BC²，
∴

1

4

CE²+CE²=64，
∴CE=

16 5

5

．