已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）为单调函数，且f（x）?f（f（x）+2x）=2，则f（1）=______
已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）为单调函数，且f（x）?f（f（x）+2x）=2，则f（1）=______．...
已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）为单调函数，且f（x）?f（f（x）+2x）=2，则f（1）=______．
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∵f（x）的定义域为（0，+∞），
∴当x=1时，f（1）?f（f（1）+2）=2，
∴f（f（1）+2）=
；
f（1）+2作为f（f（1）+2）的自变量的一个取值，它必须在定义域内，
∴f（1）+2＞0，
即f（1）＞-2；
设f（1）=a，（其中a＞-2），
∴f（a+2）=
…①；
令x=a+2（其中a＞-2），
代入f（x）?f（f（x）+
）=2中，
得f（a+2）?f（f（a+2）+
）=2…②；
把①代入②，得
?f（
+
）=2，
即f（
+
）=a …③；
∵a=f（1），
∴f（
+
）=f（1）；
把
+
和 1 分别看作函数f（x）的自变量的2个取值，
由于函数f（x）是单调函数，要使对应的函数值相等，自变量必须相等；
即
+
=1，
解得a=1+
或a=1-
；
∵1+
和1-
∴当x=1时，f（1）?f（f（1）+2）=2，
∴f（f（1）+2）=
| 2 |
| f(1) |
f（1）+2作为f（f（1）+2）的自变量的一个取值，它必须在定义域内，
∴f（1）+2＞0，
即f（1）＞-2；
设f（1）=a，（其中a＞-2），
∴f（a+2）=
| 2 |
| a |
令x=a+2（其中a＞-2），
代入f（x）?f（f（x）+
| 2 |
| x |
得f（a+2）?f（f（a+2）+
| 2 |
| a+2 |
把①代入②，得
| 2 |
| a |
| 2 |
| a |
| 2 |
| a+2 |
即f（
| 2 |
| a |
| 2 |
| a+2 |
∵a=f（1），
∴f（
| 2 |
| a |
| 2 |
| a+2 |
把
| 2 |
| a |
| 2 |
| a+2 |
由于函数f（x）是单调函数，要使对应的函数值相等，自变量必须相等；
即
| 2 |
| a |
| 2 |
| a+2 |
解得a=1+
| 5 |
| 5 |
∵1+
| 5 |
<
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