Question

（2014?梅州一模）如图所示，椭圆C：x2+y2m=1（0＜m＜1）的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P

（2014?梅州一模）如图所示，椭圆C：x2+y2m=1（0＜m＜1）的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称．（Ⅰ）若点P的坐标为（95，435），求m的值；（Ⅱ）若椭圆C上存在点M，使得OP⊥OM，求m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）依题意，M是线段AP的中点，

因为A（-1，0），P(

9

5

，

4 3

5

)，
所以 点M的坐标为(

2

5

，

2 3

5

)．
由于点M在椭圆C上，
所以 

4

25

+

12

25m

＝1，解得 m＝

4

7

．
（Ⅱ）设M（x₀，y₀）（-1＜x₀＜1），则 

x

2 0

+

y 2 0

m

＝1，①
因为 M是线段AP的中点，所以 P（2x₀+1，2y₀）．
因为 OP⊥OM，所以

OP

⊥

OM

，
所以

OP

?

OM

＝0，即 x0(2x0+1)+2y02＝0．②
由 ①，②消去y₀，整理得 m＝

2 x 2 0 +x0

2 x 2 0 ?2

．
所以 m＝1+

1

2(x0+2)+ 6 x0+2 ?8

≤

1

2

?

3

4

，
当且仅当 x0＝?2+

3

时，上式等号成立．
所以m的取值范围是(0，

1

2

?

3

4

]．