Question

（2011?南通一模）如图，已知椭圆C：x216+y212＝1的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准

（2011?南通一模）如图，已知椭圆C：x216+y212＝1的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为l上一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M．（1）若AM=MN，求∠AMB的余弦值；（2）设过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，当线段PQ的中点坐标为（0，9）时，求这个圆的方程．

Answer 1

（1）由已知，A（-4，0），B（4，0），F（2，0），直线l的方程为x=8．
设N（8，t）（t＞0），因为AM=MN，所以M（2，

t

2

）．
由M在椭圆上，得t=6．故所求的点M的坐标为M（2，3）．（4分）
所以

MA

＝(?6，?3)，

MB

＝(2，?3)，

MA

?

MB

＝?12+9＝?3．cos∠AMB＝

MA ? MB

| MA || MB |

＝

?3

36+9 ? 4+9

＝?

65

65

．（7分）
（2）设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，将A，F，N三点坐标代入，
得

16?4D+F＝0 4+2D+F＝0 64+t2+8D+Et+F＝0

?

D＝2 E＝?t? 72 t F＝?8.

∵圆方程为x2+y2+2x?(t+

72

t

)y?8＝0，令x=0，得y2?(t+

72

t

)y?8＝0．（11分）
设P（0，y₁），Q（0，y₂），则y1、2＝

t+ 72 t ± (t+ 72 t )2+32

2

．
由线段PQ的中点坐标为（0，9），得y₁+y₂=18，t+

72

t

＝18．
此时所求圆的方程为x²+y²+2x-18y-8=0．（15分）