4棱锥S-abcd的底面是边长为2的正方形,点S,a,b,c,d均在半径为√3的同一半球面上,则当
4棱锥S-abcd的底面是边长为2的正方形,点S,a,b,c,d均在半径为√3的同一半球面上,则当4棱锥S-abcd的体积最大时,底面abcd的中心与顶点S之间的距离为几...
4棱锥S-abcd的底面是边长为2的正方形,点S,a,b,c,d均在半径为√3的同一半球面上,则当4棱锥S-abcd的体积最大时,底面abcd的中心与顶点S之间的距离为几?A2-√3B2C√2+1/2D√3-1
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令AC与BD的交点为E,过S作平面K∥面ABCD,再过E作EF⊥平面K交平面K于F。
由平行平面间处处等距离,可知:EF=S到面ABCD的距离=√2/4。
令S-ABCD的外接球球心为O。
一、证明:点O在EF的延长线上。
1、点O显然不与F重合。
若重合,则由勾股定理,有:FA^2=EF^2+EA^2。
而FA=1,容易算出:EA=AC/2=√2AB/2=√2/2,得:EF=√[1-(√2/2)^2]=√2/2。
这与EF=√2/4矛盾。
2、点O若在FE的延长线上,则由勾股定理,有:OA^2=OE^2+EA^2。
而OA=1,EA=√2/2,∴OE=√[1-(√2/2)^2]=√2/2。
∴OE+EF=√2/2+√2/4=3√2/4>1,即OF>1,这说明点F在球O外面,自然是不合理的。
由上述的1、2,得:点O在EF的延长线上。
二、证明:F是OE的中点。
由勾股定理,有:OA^2=OE^2+EA^2。
而OA=1,EA=√2/2,∴OE=√[1-(√2/2)^2]=√2/2,又EF=√2/4.
∴点F是OE的中点。
三、计算S到ABCD中心的距离。
连结SF。
∵EF⊥平面K,∴SF⊥EF,又OF=EF,∴S在OE的垂直平分线上,∴SE=SO=1。
∵ABCD是正方形,且E是AC与BD的交点,∴E是ABCD的中心,
∴S到ABCD中心的距离为1。
由平行平面间处处等距离,可知:EF=S到面ABCD的距离=√2/4。
令S-ABCD的外接球球心为O。
一、证明:点O在EF的延长线上。
1、点O显然不与F重合。
若重合,则由勾股定理,有:FA^2=EF^2+EA^2。
而FA=1,容易算出:EA=AC/2=√2AB/2=√2/2,得:EF=√[1-(√2/2)^2]=√2/2。
这与EF=√2/4矛盾。
2、点O若在FE的延长线上,则由勾股定理,有:OA^2=OE^2+EA^2。
而OA=1,EA=√2/2,∴OE=√[1-(√2/2)^2]=√2/2。
∴OE+EF=√2/2+√2/4=3√2/4>1,即OF>1,这说明点F在球O外面,自然是不合理的。
由上述的1、2,得:点O在EF的延长线上。
二、证明:F是OE的中点。
由勾股定理,有:OA^2=OE^2+EA^2。
而OA=1,EA=√2/2,∴OE=√[1-(√2/2)^2]=√2/2,又EF=√2/4.
∴点F是OE的中点。
三、计算S到ABCD中心的距离。
连结SF。
∵EF⊥平面K,∴SF⊥EF,又OF=EF,∴S在OE的垂直平分线上,∴SE=SO=1。
∵ABCD是正方形,且E是AC与BD的交点,∴E是ABCD的中心,
∴S到ABCD中心的距离为1。
追问
回答很好,但是它是个选择题,没这个结果,是不是哪步出错了
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