Question

高中数学解析几何问题

直线l:y=kx+1与双曲线C：2x^2-y^2=1的右支交于不同的两点A,B。是否存在实数k，使得线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。
k最后算出来是-(6+√6)/5……我实在是算不出来了，拜托大家帮个忙，要简略清楚的过程，好的一定有追加！！先谢谢了！

Answer 1

（1）
直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A，B
这说明方程组：
y=kx+1
2x^2-y^2=1
中x有2个不相等的正数根。
即：2x^2 - (kx+1)^2 = 1 有2个不等的正数根，整理一下：
(2-k^2)x^2 - 2kx - 2 = 0

因此：
x1 + x2 = 2k/(2-k^2) > 0 ……（1）
且 x1 * x2 = -2/(2-k^2) > 0 ……（2）
且 △ = (-2k)^2 + 8(2-k^2) = 16-4k^2 > 0 ……（3）

由（2），得：k^2 > 2
由（3），得：k^2 < 4
由（1）÷（2）得：k<0
所以，k的范围为：-2<k<-√2
（2）
假设存在这样的k，则根据圆的性质，AF与BF垂直。
先求F的坐标。双曲线的a=√2/2，b=1，则c=√6/2，F的坐标为(√6/2, 0)
设A、B坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，则由AF垂直BF，得：AF的斜率 * BF的斜率 = =1
因此：
[ y1 / (x1 - √6/2) ] * [ y2 / (x2 - √6/2) ] = -1
整理，得：
y1*y2 = -x1*x2 + (√6/2)(x1+x2) - 3/2
由于y = kx+1，所以：y1*y2 = (kx1 + 1)(kx2 + 1) = k^2*x1*x2 + k(x1+x2) + 1
而x1 + x2 = 2k/(2-k^2)，x1 * x2 = -2/(2-k^2)
代入，得：
5k^2 + 2√6k - 6 = 0
解得：k = (-√6 - 6) / 5（k<0，舍去正根）
比较得到，这个k落在(-2, -√2)范围内。
所以k存在，且k = (-√6 - 6) / 5