Question

已知∠AOB=45°，P是边OA上一点，OP= 4根号2，以点P为圆心画圆

已知∠AOB=45°，P是边OA上一点，OP= 4根号2，以点P为圆心画圆，⊙P交OA于点C，点Q是射线OB上的一个动点，连结PQ，交⊙P于点D
圆半径已得为2
（1）当点Q在射线OB上运动时，以点Q为圆心，OQ为半径，若圆Q与圆P相切，试求OQ的长;
（2）连CD并延长交直线OB于点E，是否存在这样的点Q，使得以O、C、E、为顶点的三角形与△OPQ相似，若存在，试确定Q点的位置；若不存在，请说明理由

Answer 1

解:(1)当圆Q与圆P相切时,OP是圆心距

     当内切时    OQ=OP+CP

                            OQ=4√2+2

         当外切时   OQ=OP-CP

                            OQ=4√2-2

   (2) Q点存在,其点的位置是:从P点作射线PQ⊥OP,交OB于Q

      证明: 设圆P与OA交于F,连接DF

                ∵CF是圆P的直径

          ∴∠CDF=90°

        在△PDF和△PDC中

            PF=PC(都是圆的半径)

                  ∵PQ⊥OP(已作)

                  ∴∠QPF=∠QPC=90°

            PD=PD(公共边)

                 ∴∠△PDF≌△PDC(SAS)

                  ∴∠DFC=∠DCF=45°

           ∴∠CEO=90°

                 在△OCE和△OPQ中

         ∠O=∠O(公共角)

                   ∠CEO=∠OPQ=90°(已证)

                 ∴△OCE∽△OPQ

            证明完毕

   OQ=√2OP=4√2×√2=8

  答:Q点位于距O点8的位置上.

Answer 2

第一问：已知角Q为45°，OP为4根号2，当圆P和圆Q相切时，PQ的长度就是2+OQ，所以根据余弦定理，cos45°=（OP平方+OQ平方-PQ平方）/（2*OP*OQ），根据这个方程很容易可以解出OQ的长度是7/3。(不排除我算错了的可能，你可以验算一下，方法肯定没有错)
第二问：当PQ垂直于OC时，CE于PQ必交于一点D，且CE垂直于OQ。结论很容易证明，因为PQ垂直于OC，PC=PD，所以角C一定等于角CDP等于45°，于是可以得到角EDQ也是45°，而角OQP很明显是45°，所以CE垂直于OQ，此时三角形OCE相似于三角形OPQ，Q点的位置为距离O点（4倍根号2）+2处，理由是OC=OQ。
应该没有错吧，你斟酌一下，希望能帮助你。

Answer 3

当点Q在射线OB的反向延长线上时，
∠OQP=15°，∠OPQ=30°．
过点Q作QH⊥OP，垂足为H，
则 PH=
3QH，
设 QH=t，则t+42∴OQ=2t=43+4=3t，
解得：t=26+22，

Answer 4

解:(1)当圆Q与圆P相切时,OP是圆心距
     当内切时    OQ=OP+CP
                            OQ=4√2+2
         当外切时   OQ=OP-CP
                            OQ=4√2-2
   (2) Q点存在,其点的位置是:从P点作射线PQ⊥OP,交OB于Q
      证明: 设圆P与OA交于F,连接DF
                ∵CF是圆P的直径
          ∴∠CDF=90°
        在△PDF和△PDC中
            PF=PC(都是圆的半径)
                  ∵PQ⊥OP(已作)
                  ∴∠QPF=∠QPC=90°
            PD=PD(公共边)
                 ∴∠△PDF≌△PDC(SAS)
                  ∴∠DFC=∠DCF=45°
           ∴∠CEO=90°
                 在△OCE和△OPQ中
         ∠O=∠O(公共角)
                   ∠CEO=∠OPQ=90°(已证)
                 ∴△OCE∽△OPQ
            证明完毕
   OQ=√2OP=4√2×√2=8
  答:Q点位于距O点8的位置上.
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