Question

已知函数y=f(x)是R上的奇函数，当x<=0时，f(x)=(3^x)/(9^x+1)-1/2 1. 判断证明y=f(x)在（-∞，0)上的单调

2. 求y=f(x)的值域 要过程

Answer 1

因为x<=0时，f(x)=3^2/(3^2x+1）-1/2，设t=3^x，则0<t<1
所以f(t)=t/(t^2+1)-1/2
现在f'(t)=（t^2+1-2t^2)/(t^2+1)^2=(1-t)/(t^2+1)^2
令f'(t)=0，即1-t^2=0，则t=1。
则在(0，1)上，f'(t)>0
所以f(x)在（-无穷大，0）上是单调递增的。

第二问，由于f(x)+1/2=3^x/(3^2x+1)，记z=f(x)+1/2 (x<=0)
则1/z=3^x+1/3^x 此为双勾函数的一种，
所以1/z是在区间[1，+无穷大）内，即0<z<=1，由此可得-1/2<f(x)<=1/2 (x<=0)
因为f(x)为奇函数，
所以f(x)的值域为[-1/2，1/2]